Поле ввода поискового выражения и <div id="search-result"> для отображения результатов поиска. Добавьте подключение javascript function в тег <head>: 
<script language="javascript" src="ajax_framework.js"></script>
...а следующий код разместите в секции <body>: 
<h2>Ajax Search Engine</h2>

<form id="searchForm" name="searchForm" method="post" action="javascript:insertTask();">
<divcolor: rgb(51, 51, 255); ">searchInput">
<input name="searchq" type="text" id="searchq" size="30" onkeyup="javascript:searchNameq()"/>
<input type="button" name="submitSearch" id="submitSearch" value="Search" onclick="javascript:searchNameq()"/>
</div>
</form>

<h3>Search Results</h3>
<div id="msg">Type something into the input field</div>
<div id="search-result"></div>
ajax_framework.js: 
/* -------------------------- */
/*   XMLHTTPRequest Enable    */
/* -------------------------- */
function createObject() {
var request_type;
var browser = navigator.appName;
if(browser == "Microsoft Internet Explorer"){
request_type = new ActiveXObject("Microsoft.XMLHTTP");
} else {
request_type = new XMLHttpRequest();
}
return request_type;
}

var http = createObject();

/* -------------------------- */
/*
  SEARCH

  */
/* -------------------------- */
function searchNameq() {
searchq = encodeURI(document.getElementById('searchq').value);
document.getElementById('msg').style.display = "block";
document.getElementById('msg').innerHTML = "Searching for <strong>" + searchq+"";
// Set te random number to add to URL request
nocache = Math.random();
http.open('get', 'in-search.php?name='+searchq+'&nocache = '+nocache);
http.onreadystatechange =  searchNameqReply;
http.send(null);
}
function searchNameqReply() {
if(http.readyState == 4){
var response = http.responseText;
document.getElementById('search-result').innerHTML = response;
}
}
Поиск в базе in-search.php: 
<?php
include('config.php');
$searchq = $_GET['name'];
$getName = mysql_query('SELECT * FROM USER WHERE name LIKE "%'.addslashes($searchq).'%"');
while ($row = mysql_fetch_array($getName))
    echo $row['name'] . '<br/>';
?>